Question

已知：二次函数y＝ax²＋bx＋6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x²－4x－12＝0的两个根．

（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；

（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．

Answer

（1）y=－＋2x＋6；（2,8）；（2）（2,0）

【解析】试题分析：（1）首先求出x2-4x-12=0的两根，进而求出点A和点B的坐标，利用待定系数法列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值，即可求出二次函数的解析式；

（2）设点P的横坐标为m，则0＜m＜6，连接AQ，用m表示出△CPQ的面积，利用二次函数的性质，求出当△CPQ的面积最大时，点P的坐标．

试题解析：（1）由x2-4x-12=0，

解得x=-2或x=6，点A．点B的横坐标是方程x2-4x-12=0的两个根，

故A（-2，0）、B（6，0），

则

解得．

故二次函数y=-x2+2x+6，顶点坐标（2，8）；

（2）设点P的横坐标为m，则0＜m＜6，

连接AQ，

直线BC的解析式为y=-x+6，直线AC的解析式为y=3x+6，

设Q点坐标为（a，6-a），

由PQ∥AC，

可知=3，

解得a=，

6-a=（6-m），

S△CPQ=S△APQ=（m+2）•（6-m），

=-（ m2-4m-12）=-（m-2）2+6，

当m=2时，S最大=6，

所以，当△CPQ的面积最大时，点P的坐标是（2，0）．

考点：二次函数综合题．