Question

如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，∠B＝45º，tan∠ACB＝3，AC＝.求：

（1）△ABC的面积；（2）sin∠ACD的值.

Answer

(1)、6；(2)、

【解析】试题分析：（1）作AH⊥BC于H，如图，在Rt△ACH中，利用正切的定义得到tan∠ACE==3，则设CH=x，AH=3x，根据勾股定理得AC=x，利用x=，解得x=1，再在Rt△ABH中，利用∠B=45°得到BH=AH=3，然后根据三角形面积公式求解；

（2）作DF⊥BC于F，如图，由于CD是AB边上的中线，根据三角形面积公式得到S△ACD=S△ABC=6，再证明DF为△AB的中位线，则DF=AH=，易得BF=DF=，接着根据勾股定理计算出CD=，然后利用锐角三角函数得出sin∠ACD的值．

试题解析：如图，

作AH⊥BC于H，

在Rt△ACH中，

∵tan∠ACB=3，AC=，

设CH=x，AH=3x，

根据勾股定理得AC=x，

∴CH=1，AH=3，

在Rt△ABH中，∠B=45°，

∴BH=AH=3，

∴S△ABC=×4×3=6；

（2）作DF⊥BC于F，作DE垂直AC于E

∵S△ACD=××DE=3，

∴DE=，

∵AH⊥BC，DF⊥BC，CD是AB边上的中线，

∴DF=AH=，

∴BF=DF=，

在Rt△CDF中，CD=，

∴在Rt△CDE中，sin∠ACD=．

考点：1．勾股定理；2．解直角三角形．