Question

如图，在△AOB 中，∠O＝90°，AO＝8 cm，BO＝6 cm，点C 从A 点出发，在边AO 上以2 cm/s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5 cm/s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF，则当点C 运动了________s 时，以C点为圆心，2 cm 为半径的圆与直线EF 相切．

Answer

【解析】当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时，

此时，CF=2，

∵AC=2t，BD=t，

∴OC=8−2t，OD=6−t，

∵点E是OC的中点，

∴CE=OC=4−t，

∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO

∴△EFC∽△DCO

∴,即

∴=，

由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，

∴(4−t)2=22+()2，

解得：t=或t=，

∵0⩽t⩽4，

∴t=.

故答案为：

点睛：本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，难度较大，尤其是动点问题，给此题增加的一定的难度，很好地考查学生综合运用知识的能力.