Question

已知，经过点A（－4，4）的抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点B（－3，0）及原点O．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，平行于y轴的直线交线段AO于点Q，交抛物线于点P，当四边形AHPQ为平行四边形时，求∠AOP的度数；

（3）如图2，若点C在抛物线上，且∠CAO＝∠BAO，试探究：在（2）的条件下，是否存在点G，使得△GOP∽△COA？若存在，请求出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；

（2）∠AOP=∠AOH+∠POH=45o+45o=90o；

（3）存在，直线AC解析式为

【解析】试题分析：（1）根据已知点的坐标利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；

（2）设点P坐标为（m，m2+3m），从而得到直线OA的解析式为y=-x，然后表示出点Q的坐标为（m，-m），进而表示出PQ=-m-（m2+3m）=-m2-4m，利用当四边形AHPQ为平行四边形时，PQ=AH=4得到-m2-4m=4，从而求得m的值，进而确定答案；

（3）设AC交y轴于点D，由点A（-4，4）得，∠AOB=∠AOD=45°，从而证得△AOD≌△AOB后表示点D坐标为（0，3），从而确定直线AC解析式，

试题解析：（1）由题意，得

，解得．

∴抛物线的解析式为y=x2+3x；

（2）设点P坐标为（m，m2+3m），其中-4＜m＜0

∵点A（-4，4），

∴直线OA的解析式为y=-x，

从而点Q的坐标为（m，-m）

∴PQ=-m-（m2+3m）=-m2-4m，

当四边形AHPQ为平行四边形时，PQ=AH=4，

即-m2-4m=4，解得m=-2

此时点P坐标为（-2，-2）

∴∠AOP=∠AOH+∠POH=45°+45°=90°．

（3）设AC交y轴于点D，由点A（-4，4）得，∠AOB=∠AOD=45°，

∵∠CAO=∠BAO，AO=AO，

∴△AOD≌△AOB，

∴OD=OB=3，点D坐标为（0，3），

设直线AC解析式为y=px+q，则

解得，

∴直线AC解析式为y＝−x+3