Question

如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。

（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；

（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。

Answer

（1）证明见解析；

（2）

（3）使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（,1－）

【解析】【解析】
（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900，

∴四边形OBNM为矩形。

∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900

∵，AO=BO=1，

∴AM=PM。

∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，

∴OM=PN， ∵∠OPC=900，

∴∠OPM+CPN=900，

又∵∠OPM+∠POM=900 ∴∠CPN=∠POM，

∴△OPM≌△PCN.

（2）∵AM=PM=APsin450= ，

∴NC=PM= ，∴BN=OM=PN=1- ；

∴BC=BN-NC=1- - =

（3）△PBC可能为等腰三角形。

①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）

②当点C在第四象限，且PB=CB时，

有BN=PN=1－， ∴BC=PB=PN=-m，

∴NC=BN+BC=1－+-m，

由⑵知：NC=PM= ，

∴1－+-m= ， ∴m=1.

∴PM= =，BN=1－=1－， ∴P（,1－）.

∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（,1－）