Question

如图，已知△ABC，∠ACB=90º，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45º，

（1）求证：△ACF∽△BEC

（2）设△ABC的面积为S，求证：AF·BE=2S

Answer

（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【解析】证明：(1) ∵ AC=BC， ∴ ∠A = ∠B

∵ ∠ACB=90º， ∴ ∠A = ∠B = 45 0，

∵ ∠ECF= 45º， ∴ ∠ECF = ∠B = 45º，

∴ ∠ECF＋∠1 = ∠B＋∠1

∵ ∠BCE = ∠ECF＋∠1，∠2 = ∠B＋∠1；

∴ ∠BCE = ∠2，

∵ ∠A = ∠B ，AC=BC，

∴ △ACF∽△BEC。

解:(2)∵△ACF∽△BEC

∴ AC = BE，BC = AF，

∴△ABC的面积：S = AC·BC = BE·AF

∴AF·BE=2S.