Question

已知抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）直接写出直线BC的函数表达式；

（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）.求：①s与t之间的函数关系式；  ②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．

（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）y=x2－2x－3；（2）y=x－3；（3）①当0＜t≤1时，S1=2t；当1＜t≤2时，S2=－，②当t=2秒时，S有最大值，最大值为；（4）M 1（－，），M2（，），M3（，），M4（， ）

【解析】分析：(1)先由OC、OA的数量关系确定点C的坐标，然后利用待定系数法可求出抛物线的解析式; (2)由(1)的抛物线解析式可得点B的坐标，结合点C的坐标，利用待定系数法求解即可; (3)①首先要明确正方形ODEF和△OBC重合部分的形状：当点D在△OBC内部时，两者的重合部分是矩形；当点D在△OBC外部时，两者的重合部分是五边形，其面积可由正方形的面积减去△ 的面积(G、H分别为 、 和线段BC的交点)．在判断t的取值范围时，要注意一个“关键点”即点D位于线段BC上时; ②根据①的函数性质即可得到答案． (4)若存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形，应分AM PN或AN PM两种情况.由于AM在x轴上，结合平行四边形的特点可知：无论哪种情况，点N到x轴的距离都等于点P到x轴的距离，根据这个特点可确定点M、N的坐标．

本题解析：（1）∵ A（-1,0）, ,C（0,-3）

∵抛物线经过A（-1,0）,C（0,-3）

∴，∴，

∴y=x2－2x－3

(2)由(1)的抛物线解析式可知：点B(3，0).

设直线BC的解析式为y=kx+b.

将B(3，0)，C(0，-3)代入得，解得 ，

∴直线BC的函数表达式为y=x-3．

（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，-2），

根据题意得： -2=m-3，∴m=1

①当0＜t≤1时，S1=2t

当1＜t≤2时

S2= =2t－

=－，

②当t =2秒时，S有最大值，最大值为

（4）由(2)知：点P(1，-2)，假设存在符合条件的点M.

①当AM∥PN，AM=PN时，点N、P的纵坐标相同，

即点N的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式中得x²-2x-3=-2，

解得 x=1± ，

∴AM=NP=，

∴M 1（－，0） M2（，0）,

②当AN∥PM,AN=PM时，平行四边形的对角线PN、AM互相平分.

设M(m，0)，则N(m-2，2).

将点N的坐标代入抛物线的解析式中，得(m-2)²-2(m-2)-3=2，

解得 m=3±，

∴M3（3-，0） M4（3+，0 ）．

综上，存在符合条件的M点，且坐标为：

M 1（－，0） M2（，0）

M3（3-，0） M4（3+，0 ）