Question

已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．

（1）如图1，若AB=AC，AD=AE

①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；

（2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE 则线段BD与CE的数量关系为     ，∠BMC=     （用α表示）；

（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC=          （用α表示）．

Answer

（1）①BD=CE，理由见解析，②180°－2α′；（2）BD=kCE，；（3）画图见解析，∠BMC=

【解析】分析：（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC，则∠BAD=∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE；②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=∠DAE=180°-2α；（2）先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°-α，则∠BAD=∠CAE，再由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，则根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似证出△ABD∽△ACE，得出BD=kCE，∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=∠DAE=90°-α；（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°-α，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=90°+α．

本题解析：（1）①BD=CE，∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=α

∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α，同理可得：∠BAC=180°-2α

∴∠DAE =∠BAC∴∠DAE+∠BAE =∠BAC+∠BAE

即：∠BAD =∠CAE

在△ABD与△ACE中

,

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE

② ∵△ABD≌△ACE

∴∠BDA =∠CEA

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA

=∠EAD=180°－2α′

(2)如图2.

∵AD=ED，∠ADE=α，

∴∠DAE= ，

同理可得：∠BAC=90°−12α，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，

即：∠BAD=∠CAE.

∵AB=kAC，AD=kAE，

∴AB:AC=AD:AE=k.

在△ABD与△ACE中，

∵AB:AC=AD:AE=k，∠BDA=∠CEA，

∴△ABD∽△ACE，

∴BD:CE=AB:AC=AD:AE=k，∠BDA=∠CEA，

∴BD=kCE；

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°−α.

（3）画图：∠BMC=

点睛：本题考查了全等三角形判定与性质，三角形的外角的性质，相似三角形的判定与性质，作图-旋转变换，综合性较强，有一定难度.由于全等是相似的特殊情况，

所以做好第一问是解决本题的关键.