Question

已知一元二次方程x²＋ax＋a－2＝0．

（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）设a＜0，当二次函数y＝x²＋ax＋a－2的图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．

Answer

（1）因为△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，

所以不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）设x1、x2是y＝x2＋ax＋a－2＝0的两个根，则x1＋x2＝－a，x1•x2＝a－2，因两交点的距离是，

所以|x1－x2|＝＝．即：(x1－x2)2＝13

变形为：(x1＋x2)2－4x1•x2＝13所以：(－a)2－4(a－2)＝13

整理得：(a－5)(a＋1)＝0解方程得：a＝5或－1

又因为：a＜0，所以：a＝－1

所以：此二次函数的解析式为y＝x2－x－3．

（3）设点P的坐标为(x0，y0)，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，

所以：AB＝所以：S△PAB＝AB•|y0|＝

所以：＝

即：|y0|＝3，则y0＝±3

当y0＝3时，x02－x0－3＝3，即(x0－3)(x0＋2)＝0

解此方程得：x0＝－2或3

当y0＝－2时，x02－x0－3＝－3，即x0(x0－1)＝0

解此方程得：x0＝0或1

综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)．

【解析】（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了，（2）根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可．(3)是二次函数综合应用问题和三角形的综合应用