Question

直线与轴交于点A，与直线交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动，若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

Answer

A

【解析】将y=x+2与y=−x联立得： ,∴点B的坐标为(−2,1).

由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(h,k).

∵将x=h,y=k,代入得y=−x得：−h=k,解得k=−h，

∴抛物线的解析式为y=(x−h)²− h.

如图1所示：当抛物线经过点C时。

将C(0,0)代入y=(x−h)²− h得：h²−h=0,解得： =0(舍去), = .

如图2所示：当抛物线经过点B时。

将B(−2,1)代入y=(x−h)²− h得：(−2−h)²− h=1,整理得：2h²+7h+6=0,解得：

=−2, =− (舍去).

综上所述,h的范围是−2≤h≤.

故选A.

点睛：本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题的关键.