Question

如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是（  ）

A．6    B．8    C．9.6    D．10

Answer

C

【解析】

试题分析：如图，设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，根据∠B=90°可知，点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径，可知BO+OM≥BN，故当BN为直径时，直径的值最小，即直径GH也最小，同理可得EF的最小值．

【解析】
如图，设GH的中点为O，

过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，

在Rt△ABC中，BC=8，AB=6，

∴AC==10，

由面积法可知，BNAC=ABBC，

解得BN=4.8，

∵∠B=90°，

∴GH为⊙O的直径，点O为过B点的圆的圆心，

∵⊙O与AC相切，

∴OM为⊙O的半径，

∴BO+OM为直径，

又∵BO+OM≥BN，

∴当BN为直径时，直径的值最小，

此时，直径GH=BN=4.8，

同理可得：EF的最小值为4.8，

∴EF+GH的最小值是9.6．

故选C．

考点：切线的性质；垂线段最短；勾股定理．