Question

如图，AB是⊙O的直径，点P是弦BC上一动点（不与B，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，在射线EP上取点D使得DC=DP，连接DC.

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若∠CBA=30°，射线EP交⊙O于点 F，当点 F恰好是弧BC的中点时，判断以B，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形BOCF为菱形，理由见解析.

【解析】（1）证明：连接OC，

∵DP=DC，∴∠DPC=∠DCP，∵∠DPC=∠BPE，∴∠BPE=∠DCP，

∵PE⊥AB，∴∠BEP=90°，∴∠B+∠APE=90°，

∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∴∠OCB+∠DCP=90°，

∴OC⊥CD， ∴直线CD与⊙O相切；

（2）【解析】
以B、O、C、F为顶点的四边形是菱形，

连接AC，∵∠CBA=30°，∴∠A=60°，

∴△OAC为等边三角形，∴∠BOC=120°，

连接OF，BF，CF

∵F是弧BC的中点，∴∠BOF=∠COF=60°，

∴△BOF与△COF均为等边三角形，

∴BF=BO=OC=CF，∴四边形BOCF为菱形．