Question

在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A₁B₁C₁D₁，A₂B₂C₂D₂，AB₃C₃D₃都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB₃C₃D₃是点A，B，C的最优覆盖矩形．

（1）已知A(2，3)，B(5，0)，C(， 2)．

①当时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为              ；

②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，则t的值为         ；

（2）已知点D(1，1)，点E(， )，其中点E是函数的图像上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．

Answer

（1）①35；②②t ＝－3或6；（2）

【解析】试题分析：（1）①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，得出最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，即可得出结果；

②由定义可知，t=-3或6；

（2）OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，OD所在的直线表达式为y=x，得出点E的坐标为（2，2），⊙H的半径最小r=，当点E的纵坐标为1时，⊙H的半径最大r=，即可得出结果；

试题解析：

【解析】
（1）：（1）①∵A（-2，3），B（5，0），C（2，-2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，
∴最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，
∴最优覆盖矩形的面积为：7×5=35；

②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，
∴由定义可知，t=-3或6，

（2）如图1，OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，

∵点D（1，1），

∴OD所在的直线表达式为y＝x，

∴点E的坐标为（2，2），

∴OE=，

∴⊙H的半径r ＝，

如图2，

∵当点E的纵坐标为1时，1＝，解得x＝4，

∴OE==，

∴⊙H的半径r =，

∴．

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识；本题综合性强，有一定难度．