Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别为AC，BC上的点，且CE＝CD，连接DE，AD，BE，F为线段AD的中点，连接CF．

（1）求证：BE＝2CF；

（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，试探究线段BE与CF的位置关系，并说明理由；

（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE，CD交于点G．若∠DCF＝30°，求及的值．

Answer

（1）证明见解析；

（2）BE⊥CF．证明见解析；

（3），

【解析】试题分析：（1）根据已知条件易证△BCE≌△ACD，即可得BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，再由F为线段AD的中点可得CF＝AF＝DF＝ AD，即可证得结论；（2）延长CF到H，使HF＝CF，连接AH、DH，易得四边形AHDC为平行四边形，根据平行四边形的性质可得AH＝CD＝CE，∠CAH＝180°－∠ACD，再由∠BCE＝∠BCA＋∠DCE－∠ACD＝180°－∠ACD，即可得∠CAH＝∠BCE，再判定△CAH≌△BCE，根据全等三角形的性质可得∠ACH＝∠CBE，所以∠CBE＋∠BCH＝∠ACH＋∠BCH＝90°，即可得结论BE⊥CF ；（ 3）设BE，CF相交于点O，则∠GOC＝90°，作BC的垂直平分线，交BG于点M，连接CM则BM＝CM，∠MBC＝∠MCB，所以∠OMC＝2∠MBC，再求得∠DCA＝45°，∠OMC＝30°，设OG＝x，则CG＝2x，OC＝ x，BM＝CM＝2x，OM＝OC＝3x，MG＝3x－x＝2x，求得BG＝BM＋MG＝2x＋2x，BO＝BM＋MO＝2x＋3x，即可得， ,过E作BC的垂线，交BC的延长线于N,则Rt△BNE∽Rt△BOC，可得 ,设EN＝t，则CN＝t，CE=t，BN＝(＋2)t，BC＝(＋2)t－t＝(＋1)t,求得的值，又因AB＝BC，CD＝CE，即可求得的值.

试题解析：

（1）证明：∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°

∴△BCE≌△ACD

∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC

∵F为线段AD的中点

∴CF＝AF＝DF＝ AD

∴BE＝2CF

（2）BE⊥CF．证明如下：

证明：如图2，延长CF到H，使HF＝CF，连接AH、DH

∵AF＝DF，∴四边形AHDC为平行四边形

∴AH＝CD＝CE，∠CAH＝180°－∠ACD

∵∠BCE＝∠BCA＋∠DCE－∠ACD＝180°－∠ACD

∴∠CAH＝∠BCE

又∵AC＝BC，∴△CAH≌△BCE

∴∠ACH＝∠CBE

∴∠CBE＋∠BCH＝∠ACH＋∠BCH＝90°

∴BE⊥CF

（3）如图3，设BE，CF相交于点O，

则∠GOC＝90°

作BC的垂直平分线，交BG于点M，连接CM

则BM＝CM，∠MBC＝∠MCB

∴∠OMC＝2∠MBC

∵AC⊥DE，∠CDE＝45°，∴∠DCA＝45°

∵∠DCF＝30°

∴∠ACO＝∠CBE＝15°，∴∠OMC＝30°

设OG＝x，则CG＝2x，OC＝x，BM＝CM＝2x

OM＝OC＝3x，MG＝3x－x＝2x

∴BG＝BM＋MG＝2x＋2x，BO＝BM＋MO＝2x＋3x

∴ ＝ ＝＋1

＝ ＝＋2

过E作BC的垂线，交BC的延长线于N

则Rt△BNE∽Rt△BOC，∴ ＝ ＝＋2

设EN＝t，则CN＝t，CE＝t，BN＝(＋2)t，BC＝(＋2)t－t＝(＋1)t

∴ ＝ ＝

∵AB＝BC，CD＝CE，∴ ＝