Question

如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与直线y=x交于点M，∠AMB=90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．

（1）求k的值；

（2）点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF=90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y=x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE=PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）6；（2）E（4，0）；E（6，0）.

【解析】试题分析：（1）过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，根据AAS证明△AMC≌△BMD，那么S四边形OCMD=S四边形OAMB=6，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出k=6；

（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P的坐标为（3，2）．再分两种情况进行讨论：①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．根据AAS证明△PGE≌△FHP，进而求出E点坐标；②如图3，同理求出E点坐标．

试题解析：（1）如图1，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，

则∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD，MC=MD，

∴△AMC≌△BMD，

∴S四边形OCMD=S四边形OAMB=6，

∴k=6；

（2）存在点E，使得PE=PF．

由题意，得点P的坐标为（3，2）．

①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．

∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，

∴△PGE≌△FHP，

∴PG=FH=2，FK=OK=3-2=1，GE=HP=2-1=1，

∴OE=OG+GE=3+1=4，

∴E（4，0）；

②如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．

∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，

∴△PGE≌△FHP，

∴PG=FH=2，FK=OK=3+2=5，GE=HP=5-2=3，

∴OE=OG+GE=3+3=6，

∴E（6，0）．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，有一定难度．利用数形结合与分类讨论是解题的关键．