Question

如图，正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的边长为2，正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的外接圆与正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的各边相切，正六边形A₃B₃C₃D₃E₃F₃的外接圆与正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的各边相切，…按这样的规律进行下去，A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀E₁₀F₁₀的边长为（　　）

A.     B.     C.     D.

Answer

D

【解析】【解析】
连结OE1，OD1，OD2，如图所示，

∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，

∴∠E1OD1=60°，

∴△E1OD1为等边三角形，

∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，

∴OD2⊥E1D1，

∴OD2=E1D1=×2，

∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，

同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，

则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．

故选D.

点睛：本题主要考查正多边形与圆的关系.解题的关键在于利用正六形边的一边与圆的两条半径可构成特殊的三角形——等边三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一个正六边形的边长.