Question

如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形.

（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析.

【解析】

试题分析：(1)、根据平行四边形的性质得出AO=CO，根据等边三角形的性质得出AC⊥BD，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出答案；(2)、根据等边三角形的性质得出EO平分∠AEC，则∠AED=30°，从而得出∠EAD=15°，∠ADO=45°，根据菱形的性质得出∠ADC=2∠ADO=90°，从而得出正方形.

试题解析：(1)、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO． 又∵△ACE是等边三角形，

∴EO⊥AC（三线合一），即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

(2)、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO． 又∵△ACE是等边三角形， ∴EO平分∠AEC（三线合一）

∴∠AED= ∠AEC= ×60°=30°， 又∵∠AED=2∠EAD ∴∠EAD=15°，

∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45° ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC=2∠ADO=90°，

∴平行四边形ABCD是正方形．

考点：(1)、菱形的判定；(2)、正方形的判定；(3)、平行四边形的性质.