Question

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．

（1）依题意，补全图形；

（2）求证：四边形EFMN是矩形；

（3）连接DM，若DM⊥AC于点M，ON=3，求矩形ABCD的面积．

Answer

(1)补图见解析;(2)证明见解析;(3) 36

【解析】试题分析：（1）见图形；（2）根据三角形的中位线定理，先证四边形EFMN是平行四边形，再通过对角线相等证明四边形EFMN是矩形；（3）证△OCD是等边三角形。

试题解析：（1）【解析】
如图所示：

（2）证明：∵点E，F分别为OA，OB的中点，∴EF∥AB，EF=AB，

同理：NM∥CD，MN=DC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AB=DC，AC=BD，

∴EF∥NM，EF=MN，∴四边形EFMN是平行四边形，

∵点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，∴EO=AO，MO=CO，

在矩形ABCD中，AO=CO=AC，BO=DO=BD，∴EM=EO+MO=AC，

同理可证FN=BD，∴EM=FN，∴四边形EFMN是矩形．

（3）【解析】
∵DM⊥AC于点M，由（2）MO=CO，∴DO=CD，

在矩形ABCD中，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC=BD，

∴AO=BO=CO=DO，∴△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∵MN∥DC，

∴∠FNM=∠ODC=60°，在矩形EFMN中，∠FMN=90°．∴∠NFM=90°﹣∠FNM=30°，

∵NO=3，∴FN=2NO=6，FM=3，MN=3，∵点F，M分别为OB，OC的中点，

∴BC=2FM=6，∴矩形的面积为BC•CD=36．