Question

如图，已知抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线是抛物线的对称轴.

（1）求抛物线的函数解析式及顶点D的坐标；

（2）设点P是直线上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

（1），D(1，4)；（2）P (1，2)；（3）存在，M的坐标为(1，)或(1，)或(1，1)或(1，0)

【解析】(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．

(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．

(3)由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．

【解析】
（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)，两点

∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），

又∵抛物线过点C(0，3)， ∴3=-3a，∴a=-1，

∴y=-(x+1)(x-3)，即y=-x2+2x+3，

（2）连接BC，则直线BC与直线的交点即为使△PAC的周长最小的点P.

设直线BC的解析式为y=kx+b， 将B(3，0)，C(0，3)代入

得， ∴，

∴直线BC的函数关系式y=-x+3，

∵对称轴为直线x=1，

∴当x=1时，y=2即点P的坐标为(1，2) .

（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况讨论：

①MA=MC ②MA=AC ③AC=MC

∵抛物线的对称轴为x=1，∴设M(1，m)

∵A(-1，0)，C(0，3) ∴MA2=m2＋4 MC2=m2－6m+10 AC2=10

①若MA=MC 则MA2=MC2 ∴m2＋4= m2－6m+10 ∴m=1，

②若MA=AC 则MA2=AC2 ∴m2＋4=10，∴m=±

③若MC=AC 则MC2=AC2 ∴m2－6m+10=10，∴m=0或m=6，

当m=6时，M、A、C三点共线，构不成在角形(舍去). 综上可知：存在符合条件的点M，且坐标为(1， )或(1， )或(1，1)或(1，0) .

“点睛”熟知上述性质概念，本题综合性很强，运用的知识点很多，要认真审题才可解之，还需做辅助线求得，在二问中有两个答案易漏求，求得方法也不唯一，三问中可求有五个点，有一个不合题意需舍去，难度较大，属于难题.