Question

在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，若AC:AB=1:2，EF⊥CB，求证：EF=CD；

（2）如图2，若AC:AB=1: ，EF⊥CE，求EF: EG的值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．

【解析】
（1）证明：如图所示，∵AC:AB=1:2，点E为AB的中点，∴AC=BE，

∵AD⊥BC，∠CAB=90°，

∴∠B＋∠BAD=∠DAC＋∠BAD=90°，∴∠B=∠DAC ，

又∵AD⊥BC，EF⊥CB，∴∠ADC=∠BFE=90°，

∴△EFB≌△CDA(AAS)

∴EF=CD．

（2）过点E作EMBD，EN⊥AD，如图2所示，

∵AD⊥BC ∴∠NEM=90° ∵CE⊥EF ∴∠NEG=∠MEF

∵∠ENG=∠EMF=90°，∴△EMF∽△ENG，∴，

∵AD⊥BC，AC:AB=1: ，∴∠B=30°，∴∠NAE=60°

∴EN=AE，同理可得EM=BE，

∵点E为AB的中点，∴AE=BE，

∴==.

“点睛”本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．