Question

如图，在中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）S_ΔBEC=2S_ΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF，其中正确结论的个数是（ ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】试题分析：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴ ∠DCF=∠BCD，故此选项正确；

②、延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDE，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中， ∴△AEF≌△DME（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；

③∵EF=FM，∴S△EFC =S△CFM ，∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC ，故错误；

④设∠EFC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．

考点：三角形的角度之间的关系．