Question

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.易证:CE=CF.

(1)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45⁰.试猜想GE，BE，GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论.

(2)运用(1)中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：

①如图2，在四边形ABCD中∠B=∠D=90⁰，BC=CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点.若∠BCD=α，∠ECG=β，试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由.

②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N(如图3).设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．

Answer

（1）GE=BE+GD，证明见解析；（2）①α=2β，理由见解析；②在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．理由见解析.

【解析】试题分析：（1）易知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE=BE+GD；（2） ①α=2β，延长AD到F点，使DF=BE，连接CF，可证△EBC≌△FDC，即GE=BE+GD；②在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．延长BA交y轴于E点，可以得出△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN，p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．

试题解析：

（1）∵在△EBC和△FDC中，∴△EBC≌△FDC，∴∠DCF=∠BCE，

∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠DCG=90°﹣45°=45°，即∠DCG+∠DCF=45°，∴GC=GC，ECG=∠FCG，

在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，即GE=BE+GD．

（2）①α=2β．如图，

延长AD到F点，使DF=BE，连接CF，可证△EBC≌△FDC，

则∠BCE+∠DCG=∠GCF，由α=2β可知∠ECG=∠GCF，可证△ECG≌△FCG，故EG=GF，即GE=BE+GD．

②在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

证明：如图，

延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN．

在△OAE和△OCN中，．∴△OAE≌△OCN（ASA）．∴OE=ON，AE=CN．

在△OME和△OMN中．∴△OME≌△OMN（SAS）．∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．

∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

点睛：此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．