Question

如图，边长为2的正三角形ABC中，P₀是BC边的中点，一束光线自P₀发出射到AC上的点P₁后，依次反射到AB、BC上的点P₂和P₃（反射角等于入射角）.

（1）若，_____；

（2）若，则P₁C长的取值范围是_________.

Answer

【解析】分析：（1）过P0作P0H⊥AC于H，利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△P0P1C∽△P2P3B，根据相似三角形的性质得到∠CP1P0=∠P2P3B=45°，由于CP0=1，解直角三角形得到CH=，P0H=P1H=，即可得到结论；（2）首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P3B的代数式表示P1C的式子，然后由 ＜BP3＜ ，即可求出P1C长的取值范围．

【解析】

（1）过P0作P0H⊥AC于H，

∵反射角等于入射角，

∴∠P0P1C=∠P2P1A=∠P2P3B，

又∵∠C=∠A=∠B=60°，

∴△P0P1C∽△P2P3B，

∴∠CP1P0=∠P2P3B=45°，

∴P0H=P1H，

∵P0是BC边的中点，

∴CP0=1，

∴CH=，P0H=P1H=，

∴CP1=+=；

（2）∵反射角等于入射角，

∴∠P0P1C=∠P2P1A=∠P2P3B，

又∵∠C=∠A=∠B=60°，

∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，

∴==．

设P1C=x，P2A=y，则P1A=2-x，P2B=2-y．

∴，

∴，

∴x=（2+P3B）．

又∵ ＜BP3＜，

∴＜x＜．

故答案是（1），（2）P1C长的取值范围是： ＜P1C＜．

点睛：解题时根据题意，灵活运用等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键。