Question

如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝2，sinB＝，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE＝BC，连结AE，F为线段AE的中点.

求：（1）线段DE的长；（2）tan∠CAE的值.

Answer

(1)6;(2)

【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形性质求出∠ADC=90°，解直角三角形求出AD，求出BD和CD，即可得出答案；
（2）过C作CM⊥AE于M，则∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE，由勾股定理得出方程（2）2-AM2=42-（2-AM）2，求出AM，求出CM，即可求出答案．

试题解析：（1）连结AD，

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，

∵AB＝AC＝2，sin∠B＝，

∴＝，

∴AD＝4，

由勾股定理得：BD＝2，

∴DC＝BD＝2，BC＝4，

∵CE＝BC，∴CE＝4，

∴DE＝2+4＝6；

（2）过C作CM⊥AE于M，则∠CMA＝∠CME＝90°，

在Rt△ADE中，由勾股定理得；AE＝＝＝2，

∵由勾股定理得；CM2＝AC2－AM2＝CE2－EM2，

∴(2)2－AM2＝42－(2﹣AM)2，解得：AM＝，

CM＝＝＝，

∴tan∠CAE＝＝＝．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定的难度．