Question

如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形.

（1）求证：BD=CE；

（2）如图2，若BD的中点为P，CE的中点为Q，请判断△APQ的形状，并说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）△APQ是等边三角形

【解析】试题分析：（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC =∠DAE=60°.再证得∠BAD =∠CAE，根据SAS定理即可证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得BD=CE；（2）△APQ是等边三角形，根据已知易证△ABP≌△ACQ，根据全等三角形的性质可得AP=AQ，∠BAP=∠CAQ ，再由∠BAP+∠CAP =∠CAQ+∠CAP可得∠PAQ=∠BAC=60° ，即可判定△APQ是等边三角形.

试题解析：

（1）证明：∵ △ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC =∠DAE=60°.

∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC，即∠BAD =∠CAE.

在△ABD与△ACE中 ，

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD=CE

(2)【解析】
△APQ是等边三角形，理由如下

∵P是BD中点，Q是CE中点，BD=CE,∴BP=CQ .

∵△ABD≌△ACE ∴∠ABP=∠ACQ .

在△ABP与△ACQ中 ∵ ∴△ABP≌△ACQ(SAS)，

∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ ，

∴∠BAP+∠CAP =∠CAQ+∠CAP，

∴∠PAQ=∠BAC=60°

∴△APQ是等边三角形

点睛：此题主要考查学生了等边三角形的性质及判定，全等三角形的判定与性质，稍微有点难度，属于中档题．