Question

如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t分钟（0≤t≤15）．

（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；

（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；

（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）t=8min时，射线OC与OD重合；

（2）当t=2min或t=14min时，射线OC⊥OD；

（3）存在，详见解析.

【解析】试题分析：根据题意可得：∠AOC=20t，∠AOD=5t+120，(1)、根据射线重合可得：∠AOC=∠AOD，根据题意求出t的值得出答案；(2)、根据射线OC⊥OD可得：∠AOC+90=∠AOD或∠AOC-90=∠AOD，然后求出t的值得出答案；(3)、根据角平分线的性质可得：120﹣20t=5t或20t﹣120=5t+120﹣20t或20t﹣120﹣5t=5t，然后求出t的值得出答案.

点睛：本题主要考查的就是动点问题、角度的计算以及分类讨论的思想应用.解决这种问题首先需要将所有的角用含未知数的代数式来进行表示出来，然后根据所求的结论进行分情况讨论，分别求出每一种情况的未知数的值，本题中要特别主要角平分线的性质，除了运动的射线之外还要考虑不运动的射线.

试题解析：（1）由题意可得，20t=5t+120解得t=8，即t=8min时，射线OC与OD重合；

（2）由题意得，20t+90=120+5t或20t﹣90=120+5t，解得，t=2或t=14

即当t=2min或t=14min时，射线OC⊥OD；

（3）存在，

由题意得，120﹣20t=5t或20t﹣120=5t+120﹣20t或20t﹣120﹣5t=5t，

解得t=4.8或t=或t=12，

即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；

当以OC为角平分线时，t的值为min，

当以OD为角平分线时，t的值为12min．