Question

学之道在于悟. 希望同学们在问题（1）解决过程中有所悟，再继续探索研究问题（2）.

（1） 如图①，∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC.

①求证：△ADE为等腰三角形.

②若∠B＝60°，求证：△ADE为等边三角形.

（2）如图②，射线AM与BN，MA⊥AB，NB⊥AB，点P是AB上一点，在射线AM与BN上分别作点C、点 D 满足: △CPD为等腰直角三角形.(要求：利用直尺与圆规，不写作法，保留作图痕迹)

Answer

（1）证明见解析（2）画图见解析.

【解析】试题分析：（1）①先根据∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，判定△ABD≌DCE，得出AB=DC，进而得到△ADE为等腰三角形；②根据△ABD≌△DCE，得出∠BAD=∠CDE，再根据∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，得到∠ADE=∠B=60°，最后判定等腰△ADE为等边三角形；（2）分三种情况讨论：∠CPD为直角顶点；∠PCD是直角顶点；∠PDC是直角顶点，分别进行画图即可．第一种情况：使得AP=BD，BP=AC；第二种情况：使得AC=AB，CE=AP，BD=AE；第三种情况：使得BD=AB，DF=BP，AC=BF．

试题解析：（1）①证明：∵∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC.

∴△ABD≌DCE，

∴AB＝DC，∴△ADE为等腰三角形.

②∵△ABD≌△DCE，∴∠BAD＝∠CDE.

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC＝∠B＋∠BAD，

∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC, 又∵∠BAD＝∠CDE.

∴∠ADE＝∠B＝60°，

∴等腰三角形.△ADE为等边三角形.

（2）有三种情况，PC=PD、CP=CD、DC=DP，

如图所示：

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意分类讨论思想的运用．