Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0)，与y轴交于点C.直线y=h(h为常数，且0＜h＜6)与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G.

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）连接BE. 求h为何值时，△BDE的面积最大；

（3）已知定点M(-2,0)，请问是否存在这样的直线y=h，使△OFM是等腰三角形？若存在，求出h的值和点G的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）y=-x2-x+6（2）h=3（3）存在，h=4，G(-2,4)或h=2，G(,2)

【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值即可得该抛物线所对应的函数关系式；（2）求得点C的坐标，再求得直线BC的函数关系式，用h表示出DE的长，根据三角形的面积公式构造出以△BDE的面积和h为变量的二次函数模型，利用二次函数的性质求解即可；（3）分OF=FM、OF=OM和FM=OM三种情况求解即可.

试题解析：

（1）∵ 抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0)，

∴ 解得

∴ 该抛物线所对应的函数关系式为y=-x2-x+6.

（2）如图，

∵ 抛物线y=-x2-x+6与y轴交于点C，∴ C(0,6).

设直线BC的函数关系式为y=k1x+b1，∴ y=-3x+6.

当y=h时，-3x+6=h，得，即.

∴.

∴ 当h=3时，△BDE的面积最大.

（3）如图2.2，设直线AC的函数关式为y=k2x+b2，∴ y=2x+6.

当y=h时，2x+6=h，得，

∴ F(h-3,h), ∴.

又∵ M(-2,0)，

∴ OM2=4，FM2=(h-3+2)2+ h2=(h-1)2+ h2.

① 若OF=FM，则(h-3)2+ h2=(h-1)2+ h2，

解得h=4.

(另【解析】
由等腰三角形“三线合一”，∴h-3=-1，得h=4.)

由-x2-x+6=4，解得x1=-2，x2=1(舍去)，∴ G(-2,4).

② 若OF=OM，则(h-3)2+ h2=4，方程无实数解.

③ 若FM=OM，则(h-1)2+ h2=4，解得h1=2， (舍去).

由-x2-x+6=2，解得, (舍去)，∴G(,2).

综上所述，存在这样的直线y=h，使△OFM是等腰三角形，此时h=4，G(-2,4)或h=2，G(,2).

点睛：本题是二次函数的综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，以及构建二次函数模型利用二次函数的性质解决问题，同时考查了二次函数与等腰三角形的关系，综合性较强，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.