Question

（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．

（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．

Answer

（1）45°（2）（3）

【解析】试题分析：（1）根据HL定理得出△ABE≌△AGE，由全等三角形的性质可得出∠BAE=∠GAE，同理可得出∠GAF=∠DAF，即可求得结论；（2），根据旋转的性质得出∠BAM=∠DAH，再由SAS定理得出△AMN≌△AHN，即可得MN=HN．再由∠BAD=90°，AB=AD可知∠ABD=∠ADB=45°，最后根据勾股定理即可得出结论；（3）设正方形ABCD的边长为x，则CE=x-4，CF=x-6，再根据勾股定理即可得出x的值．再由勾股定理求得BD的长，根据（2）的结论求得MN的长即可.

试题解析：

（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，，，

∴△ABE≌△AGE．

∴．

同理，．

∴．

（2）．

∵，，

∴．

∴．

又∵，，

∴△AMN≌△AHN． ∴．

∵，，

∴．

∴．

∴．

∴．

（3）由（1）知，，．

设，则，．

∵，

∴．

解这个方程，得，（舍去负根）．

∴．

∴．

在（2）中，，，

∴．

设，则．

∴．即．

点睛：本题考查的是几何变换综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，难度适中．