Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数的图象在第二象限交于点C，CE垂直于x轴，垂足为点E，，OB=4，OE=2.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D做DF垂直于y轴，垂足为点F，连接OD、BF，如果，求点D的坐标．

Answer

（1）．（2）（，-4）

【解析】试题分析：（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；

（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，-）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．

试题解析：（1）∵OB=4，OE=2， ∴BE=OB+OE=6，

∵CE⊥x轴， ∴∠CEB=90°，

在Rt△BEC中，

∵，

∴，即，解得CE=3，

结合图象可知C点的坐标为（-2,3），

将C（-2,3）代入反比例函数解析式可得，解得m=6，

∴该反比例函数解析式为．

（2）∵点D在反比例函数第四象限的图象上，

∴设点D的坐标为（n，）（n＞0）．

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=，

∴OA=OB•tan∠ABO=4×=2．

∵S△BAF=AF•OB=（OA+OF）•OB=（2+）×4=4+．

∵点D在反比例函数y=第四象限的图象上，

∴S△DFO=×|﹣6|=3．

∵S△BAF=4S△DFO ，

∴4+=4×3，

解得：n=

经验证，n=是分式方程4+=4×3的解

∴点D的坐标为（，-4）

【点睛】本题考查了解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是：（1）求出点C的坐标；（2）根据三角形的面积间的关系找出关于n的分式方程．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数是关键．