Question

如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

Answer

（1） ，顶点D的坐标为 (， －)；（2）△ABC是直角三角形；（3）．

【解析】试题分析：（1）先求出抛物线的一般式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标；

（2）由解析式先求得点C、点B坐标，再分别求得AB、AC、BC的长，利用勾股定理的逆定理即可得；

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小．此时求出直线C’D的解析式，然后求出直线与x轴交点坐标即可.

试题解析：（1）∵点A（－1，0）在抛物线y= x2 + bx－2上，∴× (－1 )2 + b× (－1) –2 = 0，解得b =-∴抛物线的解析式为y=x2－x－2．

y=x2－x－2 = ( x2 －3x－ 4 ) =(x－)2－，∴顶点D的坐标为 (， －)．

（2）当x = 0时y = －2， ∴C（0，－2），OC = 2当y = 0时， x2－x－2 = 0，∴x1 = －1， x2 = 4，∴B (4，0)∴OA = 1， OB = 4， AB = 5．∵AB2 = 25， AC2 = OA2 + OC2 = 5， BC2 = OC2 + OB2 = 20，∴AC2 +BC2 = AB2． ∴△ABC是直角三角形．

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小．

设直线C′D的解析式为y = kx + n ，则 ，解得n = 2， k=- ，∴y=-x+2 ．∴当y = 0时， -x+2=0，x= ． ∴m=.

点睛：（1）解决有关抛物线顶点问题可以利用抛物线的顶点公式（- ），也可以把解析式化为顶点式，从而得到顶点；

（2）在抛物线问题中要想判断三角形的形状，需要先求出抛物线与各坐标轴的交点，然后再进行判断；

（3）解决线段之和最短问题，通常需要借助轴对称的知识来解决.