Question

某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．

（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？

（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？

Answer

（1） （0＜x≤10且x为正整数）；（2）每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；（3）每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润．最大的月利润是2720元．

【解析】试题分析：（1）由题意可得一件玩具的利润为（30+x-20）元，月销量为（230-10x）,根据月利润=一件玩具的利润×月销量即可求出函数关系式；

（2）把y=2520代入（1）中求得的函数解析式即可求得；

（3）把（1）中的解析式化为顶点式，求得当x=6.5时函数有最大值，再根据x的取值范围以及x只能是正整数从而可得到x=6或x=7时y有最大值.

试题解析：（1）依题意得y=(30+x-20)(230-10x)=-10x2+130x+2300

自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数．

（2）当y=2520时，得-10x2+130x+2300=2520，解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去）．

当x=2时，30+x=32．∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．

（3）y=-10x2+130x+2300=-10(x-6.5)2+2722.5

∵a=－10＜0 ∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5 ．∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x=6时，30+x=36，y=2720， 当x=7时，30+x=37，y=2720．∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润．最大的月利润是2720元．