Question

如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．

（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．

Answer

（1）证明见解析；（2） ．

【解析】试题分析：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM=ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB=CD；

（2）由（1）可得，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，由垂径定理可得DN=CN=AM=BM，由HL可证Rt△EON≌Rt△EOM，继而可得NE=ME，

从而得AE=CE， DE-AE=DE-CE=DN+NE-CE=CN+NE-CE=2NE，在Rt△EON中，由∠NEO=30°，OE=2，即可求出NE．

试题解析：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，

∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD；

（2）如图2所示，由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵，∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），∴NE=ME，∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON=OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE==，∴DE﹣AE=2NE=2．