Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；

（2）求△BCM的面积 ；

（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为点的四边形为平行四边形？若存，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y=x2﹣2x﹣3，M（1，4）．(2)3；（3）Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）

【解析】

试题分析：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）代入y=ax 2+bx+c，解方程组即可．

（2）由抛物线y=x2-2x-3可知顶点M（1，-4）．作MD⊥x轴于D，连结BC、CM、BM、OM．根据S△BCM=S△MOC+S△OBM-S△OBC计算即可．

（3）分两种情形讨论即可①当Q点在x轴下方时，作QE⊥x轴于E．②当Q1点在x轴上方时，作Q1F⊥x轴于F，分别求出点Q的纵坐标，转化为方程解决问题．

试题解析：（1）抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，M（1，4）．

（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，

∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC

=•（3+4）•1+•2﹣4﹣•3•3=+﹣=3

（3）存在，理由如下：

①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，

∵四边形ACQP为平行四边形，∴PQ平行且相等AC，

∴△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，

∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得 x=2或x=0（与C点重合，舍去），

∴Q（2，﹣3）．

②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，

∵四边形ACPQ为平行四边形，

∴QP平行且相等AC，∴△PFQ≌△AOC，

∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得 x=1+或x=1﹣，

∴Q（1+，3）或（1﹣，3）．

综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）

【点睛】本题考查二次函数综合题、三角形面积、平行线的性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用分割法求三角形的面积，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．