Question

如图，抛物线y=x²在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A₁，A₂，A₃…A_n，…．将抛物线y=x²沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M₁，M₂，M₃，…M_n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A₁，A₂，A₃…A_n，…．则顶点M₂₀₁₄的坐标为_______________．

Answer

（4027,4027）

【解析】

试题解析：M1（a1，a 1）是抛物线y1=（x- a 1）2+a1的顶点，

抛物线y=x2与抛物线y1=（x- a 1）2+ a 1相交于A1，

得x2=（x- a 1）2+ a 1，

即2a1x= a 12+ a 1，

x=（a1+1）．

∵x为整数点

∴a1=1，

M1（1，1）；

M2（a2，a 2）是抛物线y2=（x- a 2）2+ a 2=x2-2 a 2x+ a 22+ a 2顶点，

抛物线y=x2与y2相交于A2，

x2=x2-2 a 2x+ a 22+ a 2，

∴2 a 2x= a 22+ a 2，

x=（a 2+1）．

∵x为整数点，

∴a 2=3，

M2（3，3），

M3（a 3，a 3）是抛物线y2=（x- a 3）2+ a 3=x2-2 a 3x+ a 32+ a 3顶点，

抛物线y=x2与y3相交于A3，

x2=x2-2 a 3x+ a 32+ a 3，

∴2 a 3x= a 32+ a 3，

x=（a 3+1）．

∵x为整数点

∴a 3=5，

M3（5，5），

∴点M2014，两坐标为：2014×2-1=4027，

∴M2014（4027，4027），

【点睛】根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x-an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案．本题考查二次函数综合题、一次函数以及几何变换，定点沿直线y=x平移是解题关键． 属于中考压轴题．