Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），

B（4，0）与y轴交于点C．

（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（Ⅱ）求△BCD的面积；

（Ⅲ）若直线CD交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．

Answer

（Ⅰ）抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，顶点D（1，9）；（Ⅱ）6；（Ⅲ）72.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用待定系数法求出抛物线的解析式，通过对解析式进行配方能得到顶点D的坐标；

（Ⅱ）先求出直线BC解析式，进而用三角形的面积公式即可得出结论．

（Ⅲ）首先确定直线CD的解析式以及点E，F的坐标，若抛物线向上平移，首先表示出平移后的函数解析式；当x=﹣8时（与点E横坐标相同），求出新函数的函数值，若抛物线与线段EF有公共点，那么该函数值应不大于点E的纵坐标．当x=4时（与点F的横坐标相同），方法同上，结合上述两种情况，即可得到函数图象的最大平移单位．

试题解析：（Ⅰ）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：

，解得，

∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，顶点D（1，9）；

（Ⅱ）如图1，

∵抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+8，

∴C（0，8），

∵B（4，0），

∴直线BC解析式为y=﹣2x+8，

∴直线和抛物线对称轴的交点H（1，6），

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=×3×1+×3×3=6．

（Ⅲ）如图2，

∵C（0，8），D（1，9）；

代入直线解析式y=kx+b，

∴，

解得：，

∴y=x+8，

∴E点坐标为：（﹣8，0），

∵B（4，0），

∴x=4时，y=4+8=12

∴F点坐标为：（4，12），

设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），

则抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+9+m；

当x=﹣8时，y=m﹣72，

当x=4时，y=m，

∴m﹣72≤0 或 m≤12，

∴0＜m≤72，

∴抛物线最多向上平移72个单位．

考点：二次函数综合题．