Question

关于x的一元二次方程x²﹣（2m﹣1）x+m²+1=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）设x₁，x₂分别是方程的两个根，且满足x₁²+x₂²=x₁x₂+10，求实数m的值．

Answer

（1）m≤﹣；（2）m=﹣2．

【解析】

试题分析：（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；

（2）利用根与系数的关系可以得到x1+x2=2m﹣1，x1•x2=m2+1，再把x12+x22=x1x2+10利用完全平方公式变形为（x1+x2）2﹣3x1•x2=10，然后代入计算即可求解．

试题解析：（1）由题意有△=（2m﹣1）2﹣4（m2+1）≥0，

解得m≤﹣，

所以实数m的取值范围是m≤﹣；

（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2m﹣1，x1•x2=m2+1，

∵x12+x22=x1x2+10，

∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=x1x2+10，

∴（2m﹣1）2﹣3（m2+1）=10，

∴2m2+9m﹣5=0，

解得m1=6，m2=﹣2，

∵m≤﹣，

∴m=6舍去，

∴m=﹣2．

考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．