Question

如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（2，0），B（﹣4，0），C（0，2）；（2）；（3）M（﹣1，﹣1）或（﹣1，）或（﹣1，）．

【解析】

试题分析：（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．

（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标，由此不难解决问题．

（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．

试题解析：（1）令y=0得，∴，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．

（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，）或（5，），此时点F（﹣1，），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．

（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴点M1坐标（﹣1，），点M2坐标（﹣1，）．

②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．

③当点A为顶点的等腰三角形不存在．

综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，）或（﹣1，）．

考点：1．二次函数综合题；2．压轴题；3．函数的图象；4．分类讨论．