Question

已知：二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；

（3）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标．

Answer

（1）一次函数解析式为y=x2+2x﹣3．（2）（3）点P坐标为（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）．

【解析】

试题分析：（1）把A、D两点坐标代入二次函数y=x2+bx+c，解方程组即可解决．

（2）利用轴对称找到点P，用勾股定理即可解决．

（3）根据三角形面积公式，列出方程即可解决．

试题解析：（1）因为二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），所以，

解得．

所以一次函数解析式为y=x2+2x﹣3．

（2）∵抛物线对称轴x=﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），

∴C、D关于x轴对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，

此时PA+PD=PA+PC=AC===．

（3）设点P坐标（m，m2+2m﹣3），

令y=0，x2+2x﹣3=0，

x=﹣3或1，

∴点B坐标（1，0），

∴AB=4

∵S△PAB=6，

∴•4•=6，

∴m2+2m﹣6=0，m2+2m=0，

∴m=0或﹣2或1+或1﹣．

∴点P坐标为（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）．

【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；轴对称-最短路线问题．