Question

如图①，抛物线与x轴交于点A（，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1)、y=－+2x+3；(2)、M1（，），M2（，）；(3)、（，）

【解析】

试题分析：(1)、利用待定系数法求出二次函数的解析式；(2)、根据等面积法得出点M的坐标；(3)、首先根据二次函数的解析式求出点C和点D的坐标，从而得出CD∥x轴，根据题意得出△CGB和△CDB全等，得出点G的坐标，利用待定系数法求出直线BP的函数解析式，然后求出一次函数和二次函数的交点坐标，根据点P在抛物线的左侧得出点P的坐标.

试题解析：(1)、∵抛物线与x轴交于点A（，0），B（3，0），

，解得， ∴抛物线的表达式为．

(2)、存在．M1（，），M2（，）

(3)、存在．如图，设BP交轴y于点G． ∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，

∴当x=2时，m=． ∴点D的坐标为（2，3）．

把x=0代入，得y=3． ∴点C的坐标为（0，3）． ∴CD∥x轴，CD = 2．

∵点B（3，0），∴OB = OC = 3 ∴∠OBC=∠OCB=45°．

∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，又∵∠PBC=∠DBC，BC=BC，

∴△CGB ≌ △CDB（ASA），∴CG=CD=2． ∴OG=OCCG=1，∴点G的坐标为（0，1）．

设直线BP的解析式为y=kx+1，将B（3，0）代入，得3k+1=0，解得k=．

∴直线BP的解析式为y=x+1． 令x+1=．解得，．

∵点P是抛物线对称轴x==1左侧的一点，即x<1，∴x=．把x=代入抛物线中，解得y= ∴当点P的坐标为（，）时，满足∠PBC=∠DBC．

考点：二次函数的性质