Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以O为圆心，OA为半径的⊙O经过点D．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、6.

【解析】

试题分析：(1)、连接OD，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠2=∠3，即OD∥AC，从而得出∠ODB=∠ACB=90°，即切线；(2)、过点D作DE⊥AB，根据Rt△BDE的勾股定理得出BE=4，从而得出Rt△AED和Rt△ACD全等，设AC=AE=x，则AB=x+4，然后根据Rt△ABC的勾股定理得出x的值.

试题解析：(1)、连接OD；∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠3．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．

∴OD∥AC．∴∠ODB=∠ACB=90°． ∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切线．

(2)、过点D作DE⊥AB， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°， 由勾股定理得：，

在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED ≌ Rt△ACD

∴AC=AE，设AC=x，则AE=x，AB=x+4，在Rt△ABC中 ，

即，解得x=6，∴AC=6．

考点：(1)、切线的判定；(2)、勾股定理