Question

已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）

（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；

（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；

（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、b=2+a或b=2－a；(3)、t=，t=，t=2±

【解析】

试题分析：(1)、连接PM、PN，根据切线的性质得出PM=PN，根据就NPM=∠EPF=90°得出∠NPE=∠MPF，从而说明△PMF和△PNE全等，从而说明PE=PF；(2)、根据t＞1和1＜t≤1两种情况求出a和b的关系；(3)、根据相似三角形的几种不同的情况求出t的值.

试题解析：(1)、如图，连接PM，PN，

∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，

∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF， ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，

在△PMF和△PNE中，∠NPE=∠MPF PN=PM ∠PNE=∠PMF ，∴△PMF≌△PNE（ASA） ∴PE=PF，

(2)、【解析】
①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，

由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，

∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，

②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，

同理可证△PMF≌△PNE， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t， ∴b+a=1+t+1﹣t=2， ∴b=2－a，

(3)、t=，t=，t=2±

考点：(1)、圆的性质；(2)、切线的性质；(3)、三角形全等的性质.