Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=4，OC=3，且顶点A、C均在坐标轴上，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动；点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，过点N作NP⊥BC交BO于点P，连接MP．

（1）直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标（用含x的式子表示）；

（2）设△OMP的面积为S，求S与x之间的函数表达式；若存在最大值，求出S的最大值；

（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）B（4，3）．P（x， x）；（2）S=﹣x2+x（0＜x＜4）, 最大值为；（3）存在，x的值为秒或秒或秒.

【解析】

试题分析：（1）根据矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性质，得出B点坐标，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形对应边成比例得出P点坐标；（2）利用PG以及OM的长表示出△OMP的面积，再根据二次函数的性质求出最大值即可；（3）△OMP是等腰三角形时，分三种情况：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．画出图形，分别求出即可．

试题解析：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴B点坐标为（4，3）．如图，延长NP，交OA于点G，则PG∥AB，OG=CN=x．∵PG∥AB，∴△OPG∽△OBA，∴，即=，解得：PG=x，∴点P的坐标为（x， x）；（2）∵在△OMP中，OM=4﹣x，OM边上的高为x，∴S=（4﹣x）•x=﹣x2+x，∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4）．配方，得S=﹣（x﹣2）2+，∴当x=2时，S有最大值，最大值为；（3）存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：①如备用图1，过点P作PG⊥AO于点G，若PO=PM，则OG=GM=CN=x，即3x=4，解得：x=；②如备用图2，过点P作PG⊥AO于点G，若OP=OM，CN=x，则OP= OM= 4﹣x，由勾股定理，得OB===5，∵NP∥OC，∴，即，∴OP=x，即x=4﹣x，解得：x=；③如备用图3，过点P作PQ⊥OA，垂足为Q，若OM=PM时，则PM=OM=4﹣x，OQ=CN=x，则MQ=x-(4-x)=2x﹣4，在Rt△MPQ中，PQ2+QM2=MP2，即（x）2+（2x﹣4）2=（4﹣x）2，解得：x=，综上所述，当x的值为秒或秒或秒时，△OMP是等腰三角形．

考点：四边形综合题．