Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．

（1）求BD的长；

（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．

Answer

(1)、6；(2)、9.

【解析】

试题分析：(1)、由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；(2)、由相似三角形相似比为1：2，得到S△MND：S△CND=1：4，可得到△MND面积为1，△MCD面积为3，由S平行四边形ABCD=AD•h，S△MCD=MD•h=AD•h，=4S△MCD，即可求得答案．

试题解析：(1)、∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，

∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC， ∴△MND∽△CNB， ∴，

∵M为AD中点，所以BN=2DN， 设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，

∴x+1=2（x﹣1）， 解得：x=3， ∴BD=2x=6；

(2)、∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，

∴MN：CN=1：2， ∴S△MND：S△CND=1：4， ∵△DCN的面积为2， ∴△MND面积为1，

∴△MCD面积为3， 设平行四边形AD边上的高为h， ∵S平行四边形ABCD=AD•h，S△MCD=MD•h=AD•h，

∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=12． ∴四边形ABCM的面积=9．

考点：(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．