Question

已知关于x的两个二次函数y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂的图象关于原点O成中心对称，给出以下结论：

①a₁c₁=a₂c₂

②b₁c₁+b₂c₂=0； 

③函数y₃=y₁﹣y₂的图象关于y轴对称；

④函数y₄=y₁+y₂的图象是抛物线

则以上结论一定成立的是  （把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer

①②③

【解析】

试题分析：①∵y1=a1x2+b1x+c1和y2=a2x2+b2x+c2的图象关于原点O成中心对称，

且y1=a1x2+b1x+c1关于原点对称的二次函数为﹣y1=a1x2﹣b1x+c1，即y1=﹣a1x2+b1x﹣c1

∴﹣a1=a2，b1=b2，﹣c1=c2，

∴a1c1=a2c2，故①正确；

②﹣b1c1=b2c2，即b1c1+b2c2=0，故②正确；

③∵y3=y1﹣y2=a1x2+b1x+c1﹣（a2x2+b2x+c2）

=（a1﹣a2）x2+（b1﹣b2）x+（c1﹣c2）

=2a1x2+2c1，

∴函数y3=y1﹣y2的图象关于y轴对称，故③正确；

④∵y4=y1+y2=a1x2+b1x+c1+（a2x2+b2x+c2）

=（a1+a2）x2+（b1+b2）x+（c1+c2）

=2b1x，

∴函数y4=y1+y2的图象过原点的一条直线，故④错误；

故答案为：①②③．

考点：二次函数图象与几何变换