Question

如图1，抛物线C：y=x²经过变化可得到抛物线C₁：y₁=a₁x（x﹣b₁），C₁与x轴的正半轴交与点A₁，且其对称轴分别交抛物线C，C₁于点B₁，D₁，此时四边形OB₁A₁D₁恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线C₁：y₁=a₁x（x﹣b₁）经过变换可得到抛物线C₂：y₂=a₂x（x﹣b₂），C₂与x轴的正半轴交与点A₂，且其对称轴分别交抛物线C₁，C₂于点B₂，D₂，此时四边形OB₂A₂D₂也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线C₃：y₃=a₃x（x﹣b₃）与正方形OB₃A₃D₃．请探究以下问题：

（1）填空：a₁=    ，b₁=     ；

（2）求出C₂与C₃的解析式；

（3）按上述类似方法，可得到抛物线C_n：y_n=a_nx（x﹣b_n）与正方形OB_nA_nD_n（n≥1）．

①请用含n的代数式直接表示出C_n的解析式；

②当x取任意不为0的实数时，试比较y₂₀₁₅与y₂₀₁₆的函数值的大小并说明理由．

Answer

(1)、1，2；(2)、y2=x（x﹣6）；y3=x（x﹣14）；(3)、yn=x2﹣（2n+1﹣2）x；当x＜0时，y2015＜y2016；当x＞0时，y2015＞y2016．

【解析】

试题分析：(1)、根据图形变换后二次项系数不变得出a1=1，代入抛物线C1解析式后，求与x轴交点A1坐标，根据正方形对角线性质表示出B1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b1的值；(2)、根据图形变换后二次项系数不变得出a2=a1=1，代入抛物线C2解析式后，求与x轴交点A2坐标，根据正方形对角线性质表示出B2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b2的值，写出抛物线C2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C3的解析式；(3)、①根据图形变换后二次项系数不变得出an=a1=1，由B1坐标（1，1）、B2坐标（3，3）、B3坐标（7，7）得Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1），则bn=2（2n﹣1）=2n+1﹣2（n≥1），写出抛物线Cn解析式．

②先求抛物线C2015和抛物线C2016的交点为（0，0），在交点的两侧观察图形得出y2015与y2016的函数值的大小．

试题解析：(1)、由抛物线C经过变换得到抛物线C1，则a1=1， 代入C1得：y1=x（x﹣b1），

y1=0时，x（x﹣b1）=0 x1=0，x2=b1 ∴A1（b1，0）

由正方形OB1A1D1得：OA1=B1D1=b1 ∴B1（，）

∵B1在抛物线c上，则= b1（b1﹣2）=0 b1=0（不符合题意），b1=2

(2)、由a2=a1=1得，y2=x（x﹣b2）， y2=0时，x（x﹣b2）=0 x1=0，x2=b2 ∴A2（b2，0）

由正方形OB2A2D2得：OA2=B2D2=b2 ∴B2（，） ∵B2在抛物线c1上，则=（）2﹣2×，

b2（b2﹣6）=0 b2=0（不符合题意），b2=6 ∴C2的解析式：y2=x（x﹣6）=x2﹣6x，

由a3=a2=1得，y3=x（x﹣b3）， y3=0时，x（x﹣b3）=0 x1=0，x2=b3 ∴A3（b3，0）

由正方形OB3A3D3得：OA3=B3D3=b3 ∴B3（，） ∵B3在抛物线c2上，则=（）2﹣6×，

b3（b3﹣14）=0 b3=0（不符合题意），b3=14 ∴C3的解析式：y3=x（x﹣14）=x2﹣14x，

(3)、①Cn的解析式：yn=x2﹣（2n+1﹣2）x（n≥1）．

②由上题可得抛物线C2015的解析式为：y2015=x2﹣x=x2﹣x

抛物线C2016的解析式为：y2016=x2﹣x=x2﹣x

∴两抛物线的交点为（0，0）；

∴当x＜0时，y2015＜y2016；当x＞0时，y2015＞y2016．

考点：二次函数综合题