Question

已知一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，等腰直角△BCD绕点B旋转．

（1）如图1，当等腰直角△BCD运动至斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD交量角器边缘于点E，F，第三边交量角器边缘于点H时，点G在量角器上的读数为20°，求此时点H在量角器上的读数．

（2）如图2，当点G，E在量角器上的读数α，β满足什么关系时，等腰直角△BCD的直角边CD会与半圆O相切于点E？请说明理由．

Answer

(1)、110°；(2)、β=α+45°

【解析】

试题分析：(1)、连接OG、OH．由题意可知：∠AOG=20°，由等腰直角三角形的性质可求得∠CBD=45°，接下来，依据圆周角定理可求得∠HOG=90°，最后依据∠AOH=∠AOG+∠GOH求解即可；(2)、连接OG、OE．先由切线的性质证明OE⊥DC，然后依据平行线的判定定理可证明EO∥CB，接下来依据平行线的性质和可得到∠EOA=∠CBA，最后结合圆周角定理以及∠ABC、∠ABG、∠DBC的关系可得到α、β的关系．

试题解析：(1)、如图1所示：连接OG、OH．

∵点G在量角器上的读数为20°， ∴∠AOG=20°． ∵△BCD为等腰直角三角形，

∴∠CBD=45°． ∴∠HOG=90°． ∴∠AOH=∠AOG+∠GOH=20°+90°=110°．

(2)、如图2所示：连接OG、OE．

∵DC为圆O的切线，E为切点， ∴∠OED=90°． ∴∠OED=∠C． ∴EO∥CB．

∴∠EOA=∠CBA=β． 又∵∠GBA=∠GOA=α，∠ABC=∠ABG+∠DBC， ∴β=α+45°．

考点：切线的性质