Question

如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）设AE=x，四边形DEFG的面积为S，求出S与x的函数关系式．

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、4；证明过程见解析；(3)、S==x2﹣4x+8

【解析】

试题分析：(1)、作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEM≌△FEM，则有DE=EF即可；(2)、同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4；(3)、由正方形的性质得到∠DAE=45°，表示出AM=EM，再表示出DM，再用勾股定理求出DE2．

试题解析：(1)、如图，作EM⊥BC，EN⊥CD

∴∠MEN=90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM=EN， ∵∠DEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF，

在△DEM和△FEM中，， ∴△DEM≌△FEM， ∴EF=DE， ∵四边形DEFG是矩形，

∴矩形DEFG是正方形；

(2)、CE+CG的值是定值，定值为4， ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE=DG，AD=DC，

∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠CDG=∠ADE， ∴△ADE≌△CDG，

∴AE=CE． ∴CE+CG=CE+AE=AC=AB=×2=4，

(3)、如图，

∵正方形ABCD中，AB=2， ∴AC=4， 过点E作EM⊥AD，∴∠DAE=45°， ∵AE=x，

∴AM=EM=x， 在Rt△DME中，DM=AD﹣AM=2﹣x，EM=x，

根据勾股定理得，DE2=DM2+EM2=（2﹣x）2+（x）2=x2﹣4x+8，

∵四边形DEFG为正方形， ∴S=S正方形DEFG=DE2=x2﹣4x+8．

考点：四边形综合题