Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN=∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E 

（1）求证：△AMN是等腰三角形；

（2）求BM•AN的最大值；

（3）当M为BC中点时，求ME的长．

Answer

(1)证明详见解析；(2) ；(3) ．

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；

（2）作NH⊥AM于H，证明△NAH∽△AMB，根据相似三角形的性质得到AN•BM=，根据勾股定理计算即可；

（3）由（2）的结论，结合相似三角形的性质求出CE，根据勾股定理计算即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠NAM=∠BMA，又∠AMN=∠AMB，

∴∠AMN=∠NAM，

∴AN=MN，即△AMN是等腰三角形；

（2）如图，作NH⊥AM于H，

∵AN=MN，NH⊥AM，

∴AH=AM，

∵∠NHA=∠ABM=90°，∠AMN=∠AMB，

∴△NAH∽△AMB，

∴，

∴AN•BM=AH•AM=，

在Rt△AMB中，，

∵BM≤2，

∴9+≤13，

∴AN•BM≤，

即当BM=2时，BM•AN的最大值为；

（3）【解析】
∵M为BC中点，

∴BM=CM=BC=1，

由（2）得，AN•BM=，

∵==10，

∴AN=5，

∴DN=5﹣2=3，

设DE=x，则CE=3﹣x，

∵AN∥BC，

∴，即，

解得，x=，即CE=，

∴CE=，

∴ME==．

考点：相似形综合题．