Question

已知，AB是⊙O的直径，BC是弦，直线CD是⊙O的切线，切点为C，BD⊥CD．

（1）如图1，求证：BC平分∠ABD；

（2）如图2，延长DB交⊙O于点E，求证：弧AC =弧EC；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接EA并延长至F，使EF=AB，连接CF、CE，若tan∠FCE=，BC=5，求AF的长．

Answer

(1)详见解析；（2）详见解析；（3）AF=EF﹣AE=．

【解析】

试题分析：（1）如图1中，欲证明BC平分∠ABD，只要证明∠CBD=∠CBO，只要证明BD∥OC即可．（2）如图2中，连接AE，连接CO并延长交AE于M欲证明弧AC =弧EC，只要证明CM⊥AE即可．（3）如图3中，连接AC，连接CO并延长交AE于M，过F作FH⊥CE于H，首先证明△FHE≌△ACB，根据tan∠FCE=，设FH=12k，CH=7k，列出方程求出k，通过解直角三角形分别求出EF、AE即可解决问题．

试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC，

∵AB是⊙O直径，DC是⊙O切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，∵BD⊥CD，∴∠D=90°，

∴∠OCD+∠D=180°，

∴OC∥BD，

∴∠OCB=∠CBD，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC=∠CBD，

∴BC平分∠OBD．

（2）证明：如图2中，连接AE，连接CO并延长交AE于M．

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵CM∥DB，

∴∠AMC=∠AEB=90°，

∴CM⊥AB，

∴∠AMC=∠AEB=90°，

∴CM⊥AB，且CM经过圆心O，

∴弧AC =弧EC．

（3）【解析】
如图3中，连接AC，连接CO并延长交AE于M，过F作FH⊥CE于H，

∵FH⊥CE，

∴∠FHE=∠FHC=90°，

由（2）可知∠AMC=90°，

∴∠CME=90°，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠FHE=∠ACB=90°，

∵FH=AB，∠FEH=∠ABC，

∴△FHE≌△ACB，

∴FH=AC，EH=BC，

在RT△FHC中，tan∠FCE=，设FH=12k，CH=7k，

∴FH=AC=12k，

∵弧AC =弧EC，

∴CE=AC=12k，

∴EH=BC=5k，

∵BC=5，

∴5k=5，

∴k=1，∴AC=12，

在RT△ACB中，AB==13，∴AB=EF=13，

在RT△ACB中，sin∠ABC=，∵∠ABC=∠CBD，

在RT△CBD中，sin∠CBD=，∴CD=，

∵∠AED=∠D=∠ACB=90°，

∴四边形CMED是矩形，

∴CD=ME=，

∴AM=ME，

∴AE=2ME=，

∴AF=EF﹣AE=．

考点：圆的综合题.